El escondido alminar de Vélez-Málaga

El alminar de la antigua mezquita extramuros -sobre la que se ha levantado el Convento de San Francisco y la Iglesia de Santiago en Vélez-Málaga- apenas es visible desde la calle, como si esa joya quisiera ocultarse, modesta ante el paseante. El minarete es nazarí y se puede datar del siglo XIV, sin mucha precisión. El uso de la sebka se extendió en la época almohade (siglo XII), fue habitual en el periodo nazarí (siglos XIII, XIV y XV) y después caracterizó el mudéjar de los alarifes de Aragón. 

Las sebkas son los relieves de ladrillo en forma de retícula de los alminares y -a veces- en muros. La palabra árabe significa red. La estructura periódica de la sebka adopta distintos tipos de simetría.

Desde la calle una ventana acristalada permite observar parte de la decoración si prestamos atención. Solo puede apreciarse bien la sebka desde la planta habitada por los franciscanos que tiene acceso limitado.

La simetría de la sebka veleña es del tipo cm: un eje bilateral por el centro (rojo) y un eje deslizante también vertical intermedio entre los bilaterales (verde). La celda básica es un rombo (amarillo). Desplazando el rombo, a un lado y otro, en las direcciones de sus lados se obtiene toda la composición. La simetría es la misma que observamos en La Giralda.

Un dato notable es que el minarete conserve parte de la decoración cerámica alicatada verde en forma de cintas y círculos, insertada entre la sebka. Probablemente los pequeños huecos cuadrados también irían cubiertos de azulejos.

El alminar de Vélez-Málaga visto desde el recinto franciscano

Para ampliar información:

2023-sebka-del-alminar-de-velez-malagaDescarga

Muy cercano al alminar se puede visitar un bello mihrab cuya orientación hemos calculado: 

2021-la-alquibla-del-mihrab-de-velezDescarga

Simetría mudéjar en Santa Maria de Tobed

Adentrándonos por una estrecha carretera en las tierras de Calatayud encontraremos tras mil curvas la Iglesia de Tobed: la joya oculta del mudéjar aragonés y una de las declaradas Patrimonio de la Humanidad por la UNESCO. La sinuosa marcha merecerá la pena.

Solo la decoración del Muro de la Parroquieta de la Seo de Zaragoza puede igualar la habilidad de los alarifes mudéjares de Tobed. Los valles del Jalón y el Jiloca mantuvieron una importante población musulmana durante cinco siglos: desde la conquista de los valles a inicios del siglo XII hasta la expulsión morisca del siglo XVII. 

Destacamos los dos paneles superiores. El más alto con simetría hexagonal p6m y el inferior con simetría cuadrada de tipo p4g.

Solo detallamos -por lo espectacular- la cenefa superior de las estrellas hexagonales. Realmente –en detalle- parte de la simetría queda rota por el encadenado de los ladrillos. Si los dejásemos difusos veríamos como aparecen los ejes de simetría y las rotaciones de orden 6, 3 y 2.

Hemos realizado un montaje ampliando la decoración para resaltar la teselación periódica de tipo p6m. Las celdas básicas son rombos (dos triángulos equiláteros unidos) marcados de amarillo; sus vértices son centros de giro de orden 6; los ejes de simetría son tanto los lados como las alturas, los puntos medios de los triángulos equiláteros son centros de giro de orden 2 (en azul) y los baricentros son de orden 3 (en verde).

Recordando a las salernitanas. La geometría en el Duomo de Salerno

Salerno es una parada obligada en la historia de las mujeres en la ciencia. El grupo que fue conocido como Mulieres Salernitanae elevó el nivel de la medicina convirtiendo la ciudad en una escuela de referencia medieval. Estas mujeres unían la práctica médica con la enseñanza y la publicación de textos.

Trotula de Salerno es la referencia necesaria: en el siglo XI unió saber y sensibilidad. La salernitana publicó varias obras ente las que destaca Passionibus mulierun curandorum, un impresionante tratado de ginecología y obstetricia del que se ha dicho que nunca se había escrito algo tan bueno y que habría que esperar siglos para igualarlo. 

Trotula vivió en el siglo XI, el mismo en que se construyó la catedral, sobre las ruinas del templo paleocristiano anterior. La basílica prerrománica se ha cubierto en gran parte con un caparazón barroco pero quedan partes originales como el bello atrio y el campanario.

Los adornos circulares entre arcos son muestra de la rica variedad de simetrías de giro: de orden 6 hasta 12. La heptagonal, la nonagonal y la undecimal no se pueden construir con regla y compás: el artesano las diseña por aproximación.

En el interior destacamos los dos grandes ambones y su candelabro decorado en mosaicos y con diseños cosmatescos como en el suelo. El juego de geometría es inmejorable.

No podemos dejar de señalar una aproximación al fractal de Sierpinski en el pavimento.

Simetrías en las teselaciones de Pompeya

Pompeya tiene tal cantidad de mosaicos que nos permite encontrar muchos diseños geométricos interesantes. Veamos algunos. 

Resulta curioso que el más repetido -o nos lo pareció- sea el diseño de las haches (o íes), equivalente a los huesitos andalusíes: una teselación p4g con giros de orden 4 y ejes de simetría perpendiculares que no pasan por los centros de giro.

No puede faltar un trampantojo habitual, el de los cubos, aunque la perspectiva lo haga parecer mas ortoédrico. Los cubos pueden ser dodecaedros rómbicos: la perspectiva los hace indiferenciables.

En varios puntos se han juntado trozos de teselas poligonales haciendo al conjunto muy de geometría elemental con cuadrados, hexágonos, rombos, trapecios,…

Tampoco podemos olvidar la decoración geométrica circular con polígonos como la mostrada de orden 6 con un hexágono en el centro.  

Las múltiples simetrías de San Stefano en Bolonia

El conjunto de las siete iglesias San Stefano, hoy reducidas a cuatro, se remonta a San Petronio (siglo V). Se trata de un conjunto medieval de iglesias y claustros donde se superponen estilos desde el prerrománico al románico lombardo. Nos interesa especialmente la Basílica del Santo Sepulcro, hexagonal en la parte inferior y dodecagonal en la parte central y superior.

El interés matemático va de los nudos a las estrellas y a las teselaciones: toda una explosión de geométrica simetría.

^{Estrellas de 5 y 7 puntas}

Las estrella cubren desde los giros de orden 4 al 10 y alguno más de orden superior. Hemos seleccionado la estrella heptagonal y la nonagonal por no poderse dibujar con regla y compás.

^{Estrella de orden 9}

Los frisos y teselaciones planas presentan variados grupos con ejes, rotaciones y deslizantes: p4m, p4g, pgg, pmm, p6m,…

Belleza y simetría en la Plaza Ochavada de Archidona

El concepto de belleza es elusivo. Multitud de testimonios contrapuestos y complementarios lo ponen de manifiesto: el tema parece que siempre quedará abierto pues, además, los gustos se renuevan y reaccionan contra excesos o costumbres. La palabra simetría, del griego con medida, aparece en muchos autores. Nos quedamos con la versión del poeta y polígrafo Samuel Taylor Coleridge (1772- 1834), quien sitúa la belleza entre la simetría y su ruptura. La Plaza Ochavada de Archidona nos sirve de deliciosa muestra.

La plaza es un bello ejemplo del barroco tardío de tradición mudéjar y fue terminada en 1786. El proyecto de la Ochavada se encargó a los alarifes Antonio González Sevillano y Francisco Astorga, quienes diseñaron una plaza  simétrica y a la vez rompieron sus simetrías.

Un octógono regular tiene tantos ejes de simetría como lados –las mediatrices de dos lados opuestos y las uniones de vértices opuestos- y rotaciones cíclicas de orden 8. El grupo principal de simetrías consta de 16 elementos y tiene subgrupos propios de orden 8, 4 y 2: las cinco primeras potencias de 2 si contamos el grupo del elemento neutro.

Los alarifes al elevar la altura de tres de los lados (el Ayuntamiento y sus dos laterales) rompen la simetría de rotación y solo dejan un único eje. Las tres entradas están colocadas simétricas a ese único eje residual.

Las ocho fachadas son diferentes y eso nos deja sin ninguna simetría para el conjunto… pero como seis de las ochos tienen un eje central de simetría la unidad vuelve a aparecer. El conjunto resultante es armonioso: las simetrías se han ido rompiendo pero, a su vez, parcialmente conservadas.

[Gentileza de Antonio Ángel Núñez de Castro]

Otra simetría pueden aparecer un día lluvioso: el reflejo de las fachadas sobre el pavimento mojado. Una deliciosa foto captada durante el confinamiento -con arco iris incluido- por Antonio Ángel Núñez de Castro nos muestra como la simetría está siempre al acecho. Agradecemos que se nos haya permitido hacer uso de tan oportuna instantánea.

Un plano de época de la plaza pone de manifiesto que el octógono solo se aproxima al regular.

Archidona merece una parada sosegada para no perdernos la antigua y bien conservada mezquita del castillo, la cilla (pósito), los conventos y los dos soberbios edificios conectados de las antiguas Escuelas Pías (1794), hoy convertidas en Instituto de Secundaria y Bachillerato Luis Barahona de Soto. Una placa de azulejos recuerda que Blas Infante -alumno escolapio entre 1895 y 1900- quizá adquiriera allí su conciencia social al contemplar la miseria de los jornaleros que acudían a la caridad monacal. Un mural cerámico del Instituto hace referencia a las enseñanzas matemáticas del lugar: fórmula de Euler, sucesión de Fibonacci, un ábaco, ley de la gravitación de Newton, lista de números primos, símbolos de raíz o integral definida, etc. El panel cerámico es obra de José Pello, escultor valenciano e hijo predilecto de Archidona.

Instantánea sobre “Simetrías en las tapas de fundición con teselaciones periódicas”

Hemos dedicado la Instantánea Matemática del mes de diciembre de 2021 en el portal “DivulgaMAT” de la Real Sociedad Matemática Española a las Simetrías en las tapas de fundición con teselaciones periódicas.

Las tapas de registro en hierro fundido de los distintos suministros urbanos tienen un especial atractivo. Muchos fotógrafos y diseñadores han prestado la debida atención al modesto objeto. Decoran vestidos y hasta las viviendas. No son algo que nos deje indiferentes.

Para la educación matemática la tapa es un objeto de contemplación y estudio por sus variadas regularidades. Las tapas circulares tan habituales del alcantarillado presentan a veces simetrías de rotación pero aquí nos hemos dedicado solo a las que contienen teselaciones periódicas del plano en su limitada superficie.

Clic en:  http://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_alphacontent&section=11&category=319&Itemid=67

El pavimento de la Cámara Dorada en Valencia

Es bueno mirar el cielo, tanto por la belleza de la Cámara Dorada de la Lonja de la Seda de Valencia, como al aire libre para estremecernos con el infinito astral. Después de todo, somos polvo de estrellas: admirar el universo es rememorar nuestros orígenes.

Cuenta la leyenda que el filósofo matemático Tales de Mileto se cayó a un pozo por no mirar el suelo cuando paseaba abstraído maravillándose del firmamento. También donde ponemos los pies guarda sus secretos.

El artesonado de la Cámara Dorada es tan admirable que no nos quedan ganas de mirar el modesto pavimento de mármol. Si lo hace habitualmente Mercedes González, historiadora de la azulejería y ceramista.

A Mercedes, amiga conocedora de nuestra necesidad de material, agradecemos la fotografía del bonito suelo formado por rombos en tres colores de la Cámara. Se trata de la conocida paradoja óptica del cubo en visión estereográfica: los cubos pueden salir o meterse, ambos oscilan en nuestra visión, y además el negro nos hace ver como una cinta corrugada hueca. El pavimento también puede ser la proyección de una estructura de dodecaedros rómbicos, los cristales de distribución optima.

La tricromía hace perder en simetría lo que ganamos ópticamente. El único movimiento invariante de la teselación periódica son los giros de orden dos (180º). Hemos representado el rombo básico que se repite y marcado los centros de giro. El tipo se llama p2

Si todo el pavimento fuera del mismo color estaríamos ante el tipo p6m: giros de orden 6 (60º, los vértices del rombo), giros de orden 3 (120º), de orden 2 (10º) y ejes de simetría en tres direcciones.

Simetrías en los tejidos nazaríes del Lázaro

El Museo Lázaro Galdiano de Madrid se enorgullece de su rica colección de tejidos, especialmente los hispanoárabes. Desde el punto de vista matemático es interesante analizar sus distintas y deliciosas simetrías.

El Palacio de la Alhambra muestra en su decoración los completos 17 grupos de simetría del plano como bien mostró el profesor Rafael Pérez, pero los alarifes no fueron los únicos virtuosos de la decoración geométrica. Los ceramistas con sus alicatados, los ebanistas en sus espléndidos artesonados y los tejedores de la seda nazaríes muestran un gran dominio de los patrones geométricos y su valor estético.

Resulta curioso como las simetrías son parcialmente rotas por el color y por la lacería: como si hubieran descubierto que la belleza debe ser levísimamente imperfecta.

Las telas de la Garnata andalusí fueron un artículo de lujo de gran importancia económica y para la ocupación de su elevada población. Acostumbrados hoy a la fabricación en serie nos cuesta ver el prodigio de los maestros tejedores nazaríes.

Nos vamos a limitar a un gran hallazgo: la inclusión del pentágono regular cuando es un polígono que no tesela el plano. El procedimiento consiste en recubrir con rombos de ángulos 72º y 108º cuyos lados marcan dos direcciones de lados contiguos. Las diagonales menores del rombo indican dos puntas de una estrella decagonal, las otras ocho se obtienen mediante pentágonos. Los matemáticos árabes dominaban y superaron los procedimientos griegos pero a los artesanos les bastaba una plantilla prefabricada.

La celda rómbica usada permite giros de orden 2, y ejes de simetría según diagonales, lo que permitiría un grupo cmm, pero la lacería superpuesta nos rompe los ejes y solo queda el giro limitándose a p2.

El cambio de colores hace que la celda básica se tenga que agrandar a un rectángulo. Mostramos en amarillo la que sería sin colores y en blanco la que termina siendo por usarse tres colores.

Hemos analizado otros tejidos de muestra en este breve documento: 2020 Simetrías en tejidios nazaries

Simetrías de la sillería del coro de la Catedral de Segovia

Las guerras de los comuneros castellanos contra el emperador Carlos dañaron la vieja catedral segoviana próxima al Alcázar. La sillería gótica del coro se traslado al actual emplazamiento. Hemos de destacar las ricas simetrías de rotación de los respaldos de los sitiales.

Al igual que la decoración pétrea de las rosetas de tantas iglesias y claustros, las rosetas del coro ígneo de Segovia tienen simetría de giro de media vuelta, tercio, cuarto, quinto o sexto de vuelta. En los más de cien sitiales encontramos gran variedad de decoración pero todas ellas con simetría rotacional y prácticamente ninguna especular.

A modo de muestra reproducimos una hexagonal (60º), una pentagonal (72º) y otra triangular (120º).

Y hablando de simetrías no conviene perderse el trampantojo del pavimento final de la Capilla del Sacramento, con una bella ilusión óptica que permite observar como la suma de los números impares es un cuadrado (1=1² ; 1+3=2²; 1+3+5=3²) y verificarlo en la progresión 1,2,3. La simetría de la cenefa es de eje deslizante.