Rótterdam es una ciudad para disfrutar de la arquitectura moderna. Como puerto estratégico fue casi totalmente destruida en la Segunda Guerra Mundial. Entre los muchos edificios de interés hemos de destacar las Casas Cubo (1984) del arquitecto holandés Piet Blom (1934-1999).
El cubo en la cosmología platónica es el elemento Tierra por su estabilidad, Blom al girarlo le convierte en algo diferente, más etéreo, como negándose a sí mismo. El eje vertical es la diagonal de cada uno de los 32 (25) cubos construidos, de esta forma cada uno de los seis planos de las paredes exteriores forma ángulos de 45º con la vertical u horizontal.
Una de las viviendas se puede visitar para ver la organización en tres plantas. Dicen que parte del espacio se “desperdicia” (¡?) pero el resultado es muy atractivo y luminoso. La única pega son las tres alturas para la movilidad.
Cada cubo es soportado por una columna hexagonal por su vértice inferior.
Tras la entrada dedicada a los instrumentos matemáticos de navegación del Museo de la Marina de Ámsterdam conviene hablar del propio edificio: un arsenal del siglo XVII reconvertido muy apropiadamente en museo. Una muestra de sensibilidad es la cubrición del patio interior (34×34 m2) con una estructura inspirada en la cartografía de rumbos del siglo XVI, anterior a Mercator. La comparamos con una carta de navegación del propio museo (1580).
Además de los instrumentos de navegación el museo recoge cartografía, globos, esferas armilares o planetarios.
El museo incluye la visita al gran velero del muelle.
Delft fue una activa ciudad mercantil de producción de cerveza y después un emporio cerámico llegando a contar con 34 fábricas. El pintor Vermeer realizó toda su obra en Delft y hoy un museo se dedica a sus obras sin disponer de ellas.
Toda ciudad de mercado ha de controlar los pesos y medidas. Delft conserva el edificio del Peso Público (Waag) como Leiden y como allí se ha convertido en cafetería.
El waag se edificó en 1770, también fue sede del gremio de orfebres y se encuentra tras el ayuntamiento en la plaza del mercado.
El bonito y alusivo tímpano del frontispicio muestra una balanza en acción y las pesas junto a los sacos y los toneles que se han de pesar. Medir, pesar y contar cuantifican el mundo.
Los paneles informativos de la población se han diseñado en forma de cubos giratorios usando como eje una de las diagonales.
El concepto de belleza es elusivo. Multitud de testimonios contrapuestos y complementarios lo ponen de manifiesto: el tema parece que siempre quedará abierto pues, además, los gustos se renuevan y reaccionan contra excesos o costumbres. La palabra simetría, del griego con medida, aparece en muchos autores. Nos quedamos con la versión del poeta y polígrafo Samuel Taylor Coleridge (1772- 1834), quien sitúa la belleza entre la simetría y su ruptura. La Plaza Ochavada de Archidona nos sirve de deliciosa muestra.
La plaza es un bello ejemplo del barroco tardío de tradición mudéjar y fue terminada en 1786. El proyecto de la Ochavada se encargó a los alarifes Antonio González Sevillano y Francisco Astorga, quienes diseñaron una plaza simétrica y a la vez rompieron sus simetrías.
Un octógono regular tiene tantos ejes de simetría como lados –las mediatrices de dos lados opuestos y las uniones de vértices opuestos- y rotaciones cíclicas de orden 8. El grupo principal de simetrías consta de 16 elementos y tiene subgrupos propios de orden 8, 4 y 2: las cinco primeras potencias de 2 si contamos el grupo del elemento neutro.
Los alarifes al elevar la altura de tres de los lados (el Ayuntamiento y sus dos laterales) rompen la simetría de rotación y solo dejan un único eje. Las tres entradas están colocadas simétricas a ese único eje residual.
Las ocho fachadas son diferentes y eso nos deja sin ninguna simetría para el conjunto… pero como seis de las ochos tienen un eje central de simetría la unidad vuelve a aparecer. El conjunto resultante es armonioso: las simetrías se han ido rompiendo pero, a su vez, parcialmente conservadas.
[Gentileza de Antonio Ángel Núñez de Castro]
Otra simetría pueden aparecer un día lluvioso: el reflejo de las fachadas sobre el pavimento mojado. Una deliciosa foto captada durante el confinamiento -con arco iris incluido- por Antonio Ángel Núñez de Castro nos muestra como la simetría estásiempre al acecho. Agradecemos que se nos haya permitido hacer uso de tan oportuna instantánea.
Un plano de época de la plaza pone de manifiesto que el octógono solo se aproxima al regular.
Archidona merece una parada sosegada para no perdernos la antigua y bien conservada mezquita del castillo, la cilla (pósito), los conventos y los dos soberbios edificios conectados de las antiguas Escuelas Pías (1794), hoy convertidas en Instituto de Secundaria y Bachillerato Luis Barahona de Soto. Una placa de azulejos recuerda que Blas Infante -alumno escolapio entre 1895 y 1900- quizá adquiriera allí su conciencia social al contemplar la miseria de los jornaleros que acudían a la caridad monacal. Un mural cerámico del Instituto hace referencia a las enseñanzas matemáticas del lugar: fórmula de Euler, sucesión de Fibonacci, un ábaco, ley de la gravitación de Newton, lista de números primos, símbolos de raíz o integral definida, etc. El panel cerámico es obra de José Pello, escultor valenciano e hijo predilecto de Archidona.
El bellísimo cementerio redondo de Sayalonga, en la Axarquía malagueña, nos ofrece la oportunidad de reflexionar sobre la “redondez”.
La foto aérea de google maps nos muestra que en verdad el perímetro del cementerio es un octógono más o menos regular.
Podemos medir la redondez de varias maneras, lo vamos a hacer por el porcentaje del área del polígono regular sobre la superficie del círculo circunscrito.
Vemos como el triángulo equilátero apenas ocupa el 40% del círculo, al 80% llegamos con el hexágono regular, y el 90% se alcanza precisamente con el octógono. Vemos también lo difícil que es dibujar un polígono de 17 lados (97,7% de ocupación) que es lo que quería Gauss en su mausoleo y que el cantero no cumplió. El 99% se alcanzará con el polígono de 26 lados.
El octógono tiene muchas ventajas constructivas, basta con truncar (achaflanar) un cuadrado como en las plazas del plan Cerdá de Barcelona. También las cúpulas de las catedrales suelen ir sobre pechinas octogonales.
El mayor atractivo del cementerio es la construcción de tumbas arqueadas, con su bóveda. Si etimológicamente arquitecto es el que “construye arcos”, los albañiles de la Axarquía se ganaron honradamente el título.
En el fondo: nos gusta tanto el cementerio de Sayalonga que había que darle un barniz matemático.
Las cúpulas geodésicas se han multiplicado como forma ligera de cubrimiento autoportante de grandes espacios. Estas cúpulas se llaman de Fuller en homenaje al innovador arquitecto norteamericano Richard Buckminster Fuller (1895-1983) que inició su construcción en 1945 y que se consagró con la Biosphère de Montreal de 76 metros de diámetro.
La Géode de París se construyó en 1985 en el recinto de la Cité des sciences et de l´industrie dela Villette, Se trata de una esfera de 36 metros de diámetro (sin su casquete inferior) formada por 6433 triángulos esféricos de acero inoxidable pulido a modo de espejos. Su función era una sala de cine envolvente IMAX. La edificación se empezó a restaurar el 2017.
El diseño de estas estructuras se realiza a partir de un poliedro regular, normalmente un icosaedro, que divide la esfera en 20 triángulos esféricos equiláteros de aproximadamente 67º de lado. Cada triángulo a su vez se triangulariza en otros menores. En la Geoda se divide el lado en 10 partes, y éste a su vez en dos.
Un triángulo cuyos lados se dividen en n partes iguales generan n2 triángulos semejantes. Así al dividir en 20 partes se generan 400 por cada cara. Las veinte caras nos darían 8000 triángulos para la esfera completa. Faltan 1567 que corresponden al casquete esférico inferior de acceso.
La truncación de los 12 vértices del icosaedro da lugar a pentágonos. Un entretenimiento consiste en encontrar los 12 pentágonos entre tantos hexágonos. Así en la esfera completa habría 240 triángulos isósceles (12x5x4), que suponen el 3%, y el resto son equiláteros.
Mostramos los pentágonos en una esfera y en el detalle de la Géode.
En la vista aérea de la otra gran cúpula geodesia de París, Dôme de Paris – Palais des Sports, el pentágono se aprecia en la cumbre de un mar de hexágonos. La Dôme (1970) es ligera, de aluminio, y alcanza los 70 metros de diámetro.
Juan Caramuel Lobkowitz (Madrid, 1606 – Vigevano, 1682) fue un monje cisterciense, lingüista, lógico y matemático. Niño superdotado, mantuvo su inmenso interés en múltiples campos del saber. Aparte de las lenguas europeas escribía en hebreo, árabe y chino.
Caramuel estudió en la Universidad de Alcalá de Henares y después en Lovaina. Mantuvo correspondencia con figuras tan notables como Descartes, Gassendi y Kircher. Realizó encargos para la corona y acaba ejerciendo de obispo en el Reino de Nápoles y en Lombardía. Muere como obispo de Vigevano, población situada a unos 30 kms tanto de Pavia como de Milán.
Como matemático dejó interesantes tratados como Mathesis bíceps (1670) y Cursus mathematicus (1667–1668). Escribe sobre probabilidad, pionero en numeración en base 2 y otras, desarrolla sus propios logaritmos tomando lo mejor de Neper y Briggs, modifica las regletas de la rabdología de Neper…
Vigevano queda un poco a desmano pero merece la pena la visita de su bonita Piazza Dúchale, de origen renacentista pero precisamente remodelada por el propio Caramuel que, además, diseñó la fachada curva de la catedral que cierra la plaza. La estatua del ilustre obispo matemático se localiza al otro extremo.
Rafael Sanzio representó a Donato Bramante como el geómetra (¿Euclides o Arquímedes?) que enseña a los jóvenes con una pequeña pizarra en La escuela de Atenas de las Estancias Vaticanas.
Bramante llegó a Roma desde su Lombardía ya con fama de matemático. En la ciudad papal sus trabajos revelan un gusto extremo por las proporciones y la armonía clásicas.
Una obra de gran impacto fue el pequeño templete del claustro de San Pietro in Montorio. Se consideró como ejemplar en su género.
La colina del Janículo, al otro lado del Tiber, brilla cuando le da el sol y por ello recibió el nombre de mons aureo. Dicen que fue en el Montorio donde fue enterrado San Pedro tras su martirio.
Fernando II, como rey de Aragón y regente de Castilla, encargó las obrar del monasterio franciscano de San Pietro. El lugar lleva cinco siglos siendo un lugar de referencia para los españoles que viajaban a Roma. El gran erudito Fernando Colón fue uno de los muchos que se alojaron en la colina. Hoy es la Academia de España, adscrita a la Embajada.
Bramante ejecutó Il Tempietto en los primeros años del XVI (1502-1505). Las proporciones visibles son armónicas y calculadas, la octava y la quinta. Como en el Panteón, las semiesferas se completan hasta el suelo. La cripta de San Pietro queda en un plano inferior.
No solo el templete merece una visita, las vistas de Roma hacen que valga la pena la ascensión.
El edificio Urania es una de las obras más singulares del Modernismo vienés. Fue diseñado por Max Fabián, discípulo de Otto Wagner, e inaugurado en 1910. Un observatorio astronómico se presta a la osadía de formas y el resultado es admirable. El emplazamiento sobre el río navegable contribuye a resaltar la visibilidad. Lo que ahora se contempla es la reconstrucción realizada tras la guerra.
Destaca una de sus cúpulas pero desde la terraza accesible se observa que no es la única. El edificio sigue vivo, realizándose observaciones divulgativas y actividades. Editan un boletín y se hacen muestras peródicas. El edificio alberga también un cine.
Urania, la musa de la astronomía y de la matemática está bien presente en Viena.
La antigua Hispalis romana se transforma en Sevilla a través del árabe: el sonido pe se convierte en be. La Ichbilya árabe, capital sucesiva de floreciente reino de taifa y almohade, es conquistada por los castellanos en 1248.
El Alcázar actual es un complejo y enmarañado conjunto de edificios y jardines donde destaca el palacio mudéjar del Pedro I el Cruel. Decorado por alarifes nazaríes, el recinto palaciego comparte con la Alhambra la riqueza de sus yeserías, alicatados, artesonados, celosías o solados. Los añadidos góticos posteriores realzan el valor histórico y artístico del edificio. Una parte de la instalación fue utilizada como Casa de Contratación durante el largo periodo de monopolio del comercio americano y del esplendor de la cosmografía matemática hispana.
La Alhambra goza del privilegio de presentar los 17 grupos posibles de simetría plana en teselaciones periódicas. El Alcázar no está muy lejos: hemos detectado 15 (ó 16 sin color) sin entrar en un estudio exhaustivo.
Solo con el Salón de Embajadores podemos entrar en éxtasis: la belleza geométrica nos invade y la variedad de formas nos muestra la perfección de los artesanos en el dominio de la decoración.
Cualquier mirada nos vale pero señalaremos alguna. La cúpula empieza con estrella dodecagonal que se rodea de estrellas decagonales para soportarse sobre una octogonal y enmarcarse en un recinto cuadrado. La cúpula es un modelo místico del cosmos.
Hemos resaltado algunos de los grupos de simetrías tanto en alicatados como en yeserías. Aunque la belleza nos induzca a relajarnos y limitarnos a contemplar admirados, si nos fijamos en los detalles encontraremos muestras del virtuosismo, como la jamba de la entrada desde el Patio de las Doncellas con estrellas decagonales: el pentágono no tesela el espacio pero los artesanos árabes vieron muy pronto como se podía incorporar.
Turismo matemático 